Cała strona · Karty pracy · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 77

temat „3.11. Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego” · 4 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 5.1

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla $a_1=q=1/2$ $S_n=\frac12\frac{1-(1/2)^n}{1-1/2}=1-\left(\frac12\right)^n.$ Ponieważ $(1/2)^n>0$ , mamy $S_n<1$ dla każdego $n\ge1$ .

Odpowiedź

$S_n=1-(\frac12)^n<1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 5.2

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla $a_1=1$ , $q=1/3$

=\frac32\left(1-\left(\frac13\right)^n\right).$$ Nawias jest mniejszy od $1$, więc $S_n<3/2$.

Odpowiedź

$S_n=\frac32(1-3^{-n})<\frac32$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 6

zweryfikowane skanem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Różnica sum $S_4-S_3$ jest czwartym wyrazem, więc $a_4=5$ . Dla $q=\sqrt2$ mamy $a_1=\frac{5}{q^3}=\frac{5\sqrt2}{4}.$ Zatem

=\frac{5\sqrt2}{4}\cdot\frac{31}{\sqrt2-1} =\frac{310+155\sqrt2}{4}.

Odpowiedź

$S_{10}=\frac{310+155\sqrt2}{4}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zweryfikowane skanem

Zadanie 7

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Warunek geometryczności daje $(x+3)^2=(x-3)(6x+2),$ czyli $5x^2-22x-15=0$ . Rozwiązania to $x=5$ i $x=-3/5$ , lecz dodatnie wyrazy daje tylko $x=5$ . Ciąg zaczyna się od $2,8,32$ , więc $q=4$ .

Ponieważ $S_n=2(4^n-1)/3$ , $\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}.$ Mamy $4(4^{19}-1)=4^{20}-4<4^{20}-1$ , zatem iloraz jest mniejszy od $1/4$ .

Odpowiedź

$q=4$ oraz $\frac{S_{19}}{S_{20}}<\frac14$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem