MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 68

Między $a_{10}$ i $a_{21}$ jest jedenaście różnic, zatem $a_{21}=a_{10}+11r$, a nie $a_{10}+10r$.

Korzystamy z $a_n=a_5+(n-5)r$: $a_n=-2+3(n-5)=3n-17.$ Punkty $(n,a_n)$ leżą na prostej $y=3x-17$.

Różnica jest nachyleniem prostej przez punkty wykresu: $r=\frac{35-11}{12-6}=4.$ Stąd $a_1=a_6-5r=11-20=-9$.

a) $a_{n+1}-a_n=2n+7$, więc różnica zależy od $n$.

b) Po rozwinięciu $a_n=n^3+5n^2+6n$; różnica kolejnych wyrazów również zależy od $n$.

Dla $n\ge1$ mianownik jest niezerowy i $a_n=\frac{(n-5)(n+5)}{n+5}=n-5.$ Zatem $a_{n+1}-a_n=1$, czyli ciąg jest arytmetyczny.

Wraz z końcami ciąg ma $22$ wyrazy, zatem $r=\frac{30-(-5)}{21}=\frac53.$ Warunek $a_n\le0$ daje $-5+(n-1)\frac53\le0\iff n\le4.$