MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 65

Ciąg $a_n$ jest dodatni i malejący, a $b_n$ rosnący. Bezpośrednie porównanie kolejnych wyrazów pokazuje, że $a_n+b_n$ rośnie, natomiast

Różnica kolejnych wyrazów jest stała: $a_{n+1}-a_n=k^2-4.$ Ciąg jest rosnący, gdy $k^2-4>0$, czyli $|k|>2$.

a) Mnożenie nierówności $b_{n+1}>b_n$ przez liczbę $-2$ odwraca jej zwrot, więc $-2b_{n+1}<-2b_n$. Ciąg jest malejący.

b) Bez informacji o znakach $b_n$ nie można rozstrzygnąć. Dla dodatnich wyrazów kwadraty rosną, dla ujemnych zbliżających się do zera maleją, a przy przejściu przez zero mogą zmienić kierunek.

Ponieważ $\cos(2\pi/3)=-1/2$, mamy $a_n=(-1/2)^n$. Pierwsze wyrazy to $-\frac12,\quad\frac14,\quad-\frac18.$ Najpierw następuje wzrost, a potem spadek, więc ciąg nie jest monotoniczny.

Jest to ciąg geometryczny o $a_1=2$ i $q=(k-1)/(k+1)$, przy $k\ne-1$. Dla dodatniego pierwszego wyrazu ciąg geometryczny jest rosnący dokładnie wtedy, gdy $q>1$.