MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 64

Dla każdego $n\ge1$ $a_{n+1}-a_n=-n^2-2<0.$ Każdy kolejny wyraz jest więc mniejszy od poprzedniego.

Korzystamy kolejno z rekurencji: $a_3=2\cdot4+3\cdot2=14,$ $a_4=2\cdot14+3\cdot4=40,$ $a_5=2\cdot40+3\cdot14=122.$

Dla $n=1$ otrzymujemy $a_2=(-1)^1a_1+a_1=0.$ Jeżeli dla pewnego $n\ge2$ mamy $a_n=0$, to $a_{n+1}=((-1)^n+1)a_n=0.$ Z indukcji wynika, że wszystkie wyrazy od drugiego są równe zeru.

Pierwszy wyraz wynosi $a_1=1+1-6=-4$. Różnica kolejnych wyrazów jest równa $a_{n+1}-a_n=2n+2=2(n+1).$

Dla $n=1$ mamy $a_2=a_1+1$, więc $a_1=-4$. Następnie $a_3=-3+2^2=1,\quad a_4=1+3^2=10,\quad a_5=10+4^2=26.$