MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 63

Dla odpowiedzi D $a_{n+1}-a_n=2(n+1)^2-4(n+1)-(2n^2-4n)=4n-2>0$ dla każdego $n\ge1$. Pozostałe ciągi zmieniają kierunek lub oscylują.

a) Mamy $a_1=0>a_2=-8$, ale $a_4=-24<a_5=-20$. Ciąg nie jest więc ani niemalejący, ani nierosnący.

b) $a_1=-1/2<a_2=1$, natomiast $a_2=1>a_3=-5/3$. Tu również kierunek zmian nie jest stały.

Dla ciągu rosnącego mamy $a_{10}<a_{11}$ oraz $a_{n+2}<a_{n+3}$. Po dodaniu stronami: $a_{10}+a_{n+2}<a_{11}+a_{n+3}.$

Liczymy różnicę kolejnych wyrazów:

Jest to ciąg arytmetyczny o różnicy $a_{n+1}-a_n=2k-1.$ Warunek niemalejącości to $2k-1\ge0$.

Jeśli $(a_n)$ jest rosnący, to $a_{n+1}-a_n>0$. Dla ciągu $b_n=2a_n-3$ mamy $b_{n+1}-b_n=2(a_{n+1}-a_n)>0,$ więc $(b_n)$ także jest rosnący.