MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 62

Warunek $a_n>-2$ jest równoważny $n^3-2n^2-n+2=(n-2)(n-1)(n+1)>0.$ Dla $n=1,2$ iloczyn jest równy zero, a dla każdego $n\ge3$ jest dodatni.

Ze skanu odczytujemy asymptoty $x=-1$ i $y=2$. Hiperbola ma więc postać $y=\frac{a}{x+1}+2.$ Przechodzi przez punkt $(0,3)$, zatem $a=1$. Wyrazy ciągu uzyskujemy dla naturalnych odciętych $x=n$.

Kolejny wyraz wynosi $a_{n+1}=2(n+1)^2+2(n+1)=2n^2+6n+4.$ Zatem $a_n+a_{n+1}=4n^2+8n+4=(2n+2)^2.$ Liczba $2n+2$ jest naturalna, więc suma jest jej kwadratem.