MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 61

W warunku przyjmujemy $n-1=4$, czyli $n=5$: $a_4=-(-2)^3=8.$

$a_5=2\cdot25=50$ oraz $a_4=2\cdot16=32$, zatem $a_5-a_4=18$.

Warunek ujemności ma postać $3n^2-16<0,\qquad n^2<\frac{16}{3}.$ Dla dodatnich naturalnych $n$ spełniają go tylko $n=1,2$.

Mamy $a_n=24/n-4$. Wyraz jest nieujemny dla $n\le6$, a jest całkowity wtedy, gdy $n$ dzieli $24$. Wśród $1,\ldots,6$ są to $n=1,2,3,4,6$, czyli pięć indeksów.

Rozwiązujemy równanie $9n^3-18n^2-9n=-18.$ Po podzieleniu przez $9$ i przeniesieniu otrzymujemy $n^3-2n^2-n+2=(n-2)(n-1)(n+1)=0.$ Dodatnimi rozwiązaniami naturalnymi są $n=1$ i $n=2$. Zatem dokładnie dwa wyrazy, $a_1$ i $a_2$, są równe $-18$.

Równanie $a_n=12$ po przeniesieniu na jedną stronę ma postać $n^3-2n^2-16n+32=(n-2)(n-4)(n+4)=0.$ Dodatnimi rozwiązaniami naturalnymi są $n=2$ i $n=4$, więc dwa wyrazy ciągu mają wartość $12$.