MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 57

Niech $P=(x,y)$ będzie punktem paraboli. Ponieważ $y=x^2/4+1\ge1$, jego odległość od osi $OX$ wynosi $y$.

Z równania paraboli mamy $x^2=4y-4$. Zatem

Okrąg ma środek $S=(-1,1)$ i promień $\sqrt5$. Ponadto $|AS|=\sqrt{(2+1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{10}$. W trójkącie prostokątnym utworzonym przez $A$, $S$ i punkt styczności sinus połowy kąta między stycznymi wynosi $\frac{\sqrt5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt2}{2}.$ Połowa kąta ma więc $45^\circ$.

Oś ma równanie $y=x+2$. Punkt $D$ jest odbiciem $B=(0,8)$ względem tej osi, stąd $D=(6,2)$.

Okrąg przez $A=(30,32)$, $B$ i $D$ ma równanie $3x^2+3y^2-98x-110y+688=0.$ Po podstawieniu $y=x+2$ otrzymujemy $3x^2-98x+240=0.$ Jednym pierwiastkiem jest $x=30$ (punkt $A$), a drugim $x=8/3$. Zatem $C=(8/3,14/3)$.