MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 54

Symetria środkowa zachowuje kierunek prostej. Współczynnik prostej $AB$ wynosi $\frac{7-2}{3-1}=\frac52,$ więc taki sam współczynnik ma prosta przez obrazy punktów.

Środek odcinka to $M=(0,6)$, a współczynnik prostej $AB$ wynosi $2$. Symetralna ma zatem współczynnik $-1/2$ i przechodzi przez $M$: $y-6=-\frac12x.$

Środek okręgu to $S=(3-\sqrt3,\sqrt{13})$, a promień $r=\sqrt{1{,}2}$. Najmniejsze możliwe współrzędne punktu okręgu to $x_S-r$ i $y_S-r$.

Mamy $3-\sqrt3>1{,}2>\sqrt{1{,}2}$ oraz $\sqrt{13}>3>\sqrt{1{,}2}$. Obie różnice są więc dodatnie, a zatem każdy punkt okręgu ma $x>0$ i $y>0$.

Bok $AB$ leży na prostej $x-y+4=0$. Odległość środka kwadratu $S=(2,0)$ od boku jest połową długości boku: $\frac a2=\frac{|2-0+4|}{\sqrt2}=3\sqrt2.$ Stąd $a=6\sqrt2$.

Środek odcinka $AB$ jest rzutem punktu $A$ na prostą $y=3x$. Wektor kierunkowy tej prostej to $(1,3)$, więc