MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 51

Proste nie są równoległe: po zapisaniu ich w postaci kierunkowej mają współczynniki $1$ oraz $-4$. Przecinają się więc w dokładnie jednym punkcie.

Prosta ma postać $2x-y+4=0$. Odległość punktu $(0,0)$ wynosi

Odejmujemy od drugiego równania dwukrotność pierwszego: $5x-6y-(4x-6y)=7-8,$ stąd $x=-1$. Z $2x-3y=4$ otrzymujemy $y=-2$.

Ze wzoru na środek odcinka $\frac{a+7}{2}=3,\qquad \frac{6+b}{2}=4.$ Stąd $a=-1$ i $b=2$.

Dla punktu $A=(-1,7)$ odległość od środka wynosi $\sqrt{(-1-2)^2+(7-3)^2}=\sqrt{9+16}=5,$ czyli jest równa promieniowi.

W trójkącie równoramiennym z ramionami $KM$ i $LM$ wysokość $MN$ jest również środkową podstawy $KL$. Zatem $N$ jest środkiem $KL$ i

Prosta przez $A=(0,4)$ i $B=(2,2)$ ma równanie $y=-x+4$. Symetria środkowa wysyła te punkty na $(0,-4)$ i $(-2,-2)$, więc obraz ma równanie $y=-x-4$.