MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 49

Punkty symetryczne względem początku mają przeciwne współrzędne, więc $m^2-m+1=3,\qquad 2k-3=-4.$ Pierwsze równanie ma postać $(m-2)(m+1)=0$, a z drugiego otrzymujemy $2k=-1$.

Środkiem danego okręgu jest $(-5,4)$. Symetria względem początku zmienia oba znaki, zatem obraz środka to $(5,-4)$.

Obrazy punktów to $A'=(-4,-2)$ i $B'=(-6,4)$. Współczynnik kierunkowy prostej $A'B'$ wynosi $a=\frac{4-(-2)}{-6-(-4)}=-3.$ Z równania $y=-3x+b$ i punktu $A'$ dostajemy $-2=12+b$, więc $b=-14$.

Środkiem podstawy $AB$ jest początek układu. W trójkącie równoramiennym wysokość z $C$ przechodzi przez środek podstawy, więc $AB$ jest prostopadła do $OC$. Ponieważ $OC$ leży na $y=-x$, podstawa leży na $y=x$.

Niech $A=(-t,-t)$ i $B=(t,t)$. Wtedy $|AB|=2\sqrt2|t|$, a odległość $C=(-6,6)$ od prostej $y=x$ wynosi $6\sqrt2$. Z warunku pola $\frac12\cdot2\sqrt2|t|\cdot6\sqrt2=36$ otrzymujemy $|t|=3$.