MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 46

Punkt dzieli odcinek wewnętrznie w stosunku $3:5$, więc $P=A+\frac38(B-A)=(-4,-6)+\frac38(12,20).$

Wektory $\overrightarrow{AB}=(2-m,2)$ i $\overrightarrow{AC}=(-m,3m-2)$ muszą mieć zerowy wyznacznik: $-3m^2+10m-4=0.$

Punkt przecięcia środkowych jest środkiem ciężkości, więc $P=\frac{A+B+C}{3},\qquad C=3P-A-B.$

Jeżeli $P,Q,R$ są kolejno środkami boków, to wierzchołki mają postacie $P+Q-R$, $P+R-Q$ i $Q+R-P$. Podstawiamy dane współrzędne.

Ze wzoru Gaussa pole trapezu wynosi $69/2$. Niech $E=A+t(B-A)$, $0\le t\le1$. Wtedy $P_{AED}=\frac12|t(B-A)\times(D-A)|=23t.$ Warunek $23t=\frac12\cdot69/2$ daje $t=3/4$.