MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 36

Prosta ma postać $2x-y+3=0$. Odległość środka od prostej to $d=\frac{|2\cdot3-(-1)+3|}{\sqrt5}=2\sqrt5.$ Ponieważ $2\sqrt5<5$, prosta przecina wnętrze okręgu.

Warunek odległości daje $\frac{|3m-4m^2+6|}{5}=1,$ czyli rozwiązujemy równania $3m-4m^2+6=5$ oraz $3m-4m^2+6=-5$.

Prosta boku ma równanie $x-2y-4=0$. Odległość wierzchołka $A=(-1,2)$ od tej prostej wynosi $a=\frac{|-1-4-4|}{\sqrt5}=\frac9{\sqrt5}.$ Jest to długość boku kwadratu.

Proste równoległe mają postacie $3x-2y-4=0$ oraz $3x-2y+8=0$. Ich odległość wynosi $\frac{|8-(-4)|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}=\frac{12}{\sqrt{13}}.$ Środek okręgu stycznego do obu leży w połowie tej odległości.

Długości boków to $|AB|=4\sqrt5$, $|BC|=5\sqrt2$, $|CA|=3\sqrt{10}$. Pole z wyznacznika wektorów $\overrightarrow{AB}=(-8,4)$ i $\overrightarrow{AC}=(-9,-3)$ wynosi $30$. Zatem $R=\frac{|AB||BC||CA|}{4P}.$