Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Karty pracy · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 30

temat „Przed maturą z matematyki na poziomie rozszerzonym” · 3 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 8

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Podstawiamy cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos2x=2\cos^2x-1:

\qquad(2\cos x+1)(\cos x+1)=0.$$
Odpowiedź

x∈{2π3,π,4π3}x\in\{\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3}\}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Oznaczmy s=sin⁡3xs=\sin3x i c=cos⁡3xc=\cos3x. Ponieważ sin⁡6x=2sc\sin6x=2sc, równanie przyjmuje postać 2sc+c=2s+1,(2s+1)(c−1)=0.2sc+c=2s+1,\qquad(2s+1)(c-1)=0. Dla 3x∈[0,3π]3x\in[0,3\pi] rozwiązujemy osobno sin⁡3x=−1/2\sin3x=-1/2 i cos⁡3x=1\cos3x=1.

Odpowiedź

x∈{0,7π18,11π18,2π3}x\in\{0,\frac{7\pi}{18},\frac{11\pi}{18}, \frac{2\pi}{3}\}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Ze wzoru na sumę sinusów: sin⁡(x−π/3)+sin⁡(x+π/3)=2sin⁡xcos⁡(π/3)=sin⁡x.\sin(x-\pi/3)+\sin(x+\pi/3)=2\sin x\cos(\pi/3)=\sin x. Równanie jest więc równoważne sin⁡x(cos⁡x−1/2)=0\sin x(\cos x-1/2)=0.

Odpowiedź

x=kπx=k\pi lub x=2kπ±π3x=2k\pi\pm\frac\pi3, k∈Zk\in\mathbb Z.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem