Cała strona · Karty pracy · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 25

temat „1.15. Równania trygonometryczne (2)” · 3 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 5

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W dziedzinie równania sinus i cosinus są niezerowe. Mamy

=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\sin x\cos x}=2.$$ Stąd $2\sin x\cos x=1$, czyli $\sin2x=1$.

Odpowiedź

$x=\frac\pi4+k\pi$ , $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zakres wartości $\cos x-\sin x=\sqrt2\cos(x+\pi/4)$ to $[-\sqrt2,\sqrt2]$ . Równanie ma rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy $2m-1$ należy do tego przedziału.

Odpowiedź

$m\in[\frac{1-\sqrt2}{2},\frac{1+\sqrt2}{2}]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy $\cos2x=1-2\sin^2x$ i $\cos^2x=1-\sin^2x$ : $3-6\sin^2x+10-10\sin^2x=24\sin x-3.$ Po uporządkowaniu $(2\sin x-1)(\sin x+2)=0$ . Drugi czynnik nie może być zerem.

Odpowiedź

$x=\frac\pi6$ lub $x=\frac{5\pi}{6}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem