MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 23

Równanie daje $x=\pi/3+2k\pi$ lub $x=2\pi/3+2k\pi$. Wybieramy wszystkie wartości należące do $[-4\pi,4\pi]$.

Rozwiązania ogólne mają postać $x=\pi-4k\pi$ lub $x=-7\pi/3-4k\pi$. W przedziale $[-2\pi,2\pi]$ z pierwszej rodziny pozostaje $\pi$, a z drugiej $5\pi/3$.

a) Z $|\operatorname{tg}u|=1/\sqrt3$ mamy $u=\pi/6+k\pi$ lub $u=-\pi/6+k\pi$. Po podstawieniu $u=x/2+\pi/3$ i ograniczeniu przedziału otrzymujemy cztery liczby.

b) $\sin x(\cos^2x-1)=-\sin^3x$, więc wystarczy $\sin x=0$.

c) Ułamek jest zerem dla $\cos x=0$, ale trzeba odrzucić punkty, w których $\sin x-1=0$.

$3\cos^2x-4\cos x=\cos x(3\cos x-4).$ Drugi czynnik nie może być zerem, bo wymagałby $\cos x=4/3$. Zostaje $\cos x=0$.

Równanie ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy prawa strona po podzieleniu przez $3$ należy do $[-1,1]$: $-1\le\frac{5m-1}{3}\le1.$