MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 20

Korzystamy ze wzoru na cosinus sumy:

Z tożsamości $(\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x=1+\sin2x$ wynika, że licznik jest równy mianownikowi. Podane założenie gwarantuje, że mianownik nie jest zerem.

Dla $t=\pi/12$ mamy

Ze związku $\alpha+\beta=180^\circ$ wynika $\sin\beta=\sin\alpha=0{,}28=7/25$ oraz $\cos\beta=-\cos\alpha$. Stąd $|\cos\beta|=\sqrt{1-\left(\frac7{25}\right)^2}=\frac{24}{25}.$ Treść nie określa, czy $\alpha$ jest kątem ostrym, czy rozwartym, dlatego nie wyznacza znaku cosinusa jednoznacznie.

Ponieważ $\pi/12=45^\circ-30^\circ$, mamy

Niech $t=\operatorname{tg}x$. Ze wzoru na tangens różnicy $\frac{1/\sqrt3-t}{1+t/\sqrt3}=2.$ Po pomnożeniu przez $\sqrt3$ otrzymujemy $1-\sqrt3t=2\sqrt3+2t$, więc $t=\frac{1-2\sqrt3}{2+\sqrt3}=8-5\sqrt3.$