Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Karty pracy · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 19

temat „1.11. Tożsamości trygonometryczne” · 3 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 5

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Musi zachodzić cos⁡x≠0\cos x\ne0 oraz 1−sin⁡x≠01-\sin x\ne0. Pierwszy warunek wyklucza już wszystkie x=π/2+kπx=\pi/2+k\pi, w tym przypadki spełniające drugi. W dziedzinie cos⁡x1−sin⁡x=1+sin⁡xcos⁡x,\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{1+\sin x}{\cos x}, więc suma jest równa 2/cos⁡x2/\cos x.

Odpowiedź

x≠π2+kπx\ne\frac\pi2+k\pi, k∈Zk\in\mathbb Z, a uproszczona postać to 2cos⁡x\frac{2}{\cos x}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Założenia to cos⁡x≠0\cos x\ne0 oraz sin⁡x≠cos⁡x\sin x\ne\cos x, sin⁡x≠−cos⁡x\sin x\ne-\cos x. Wtedy

=\frac{\cos^2x}{\cos x-\sin x}.$$ Zatem lewa strona jest równa $$\frac{\sin^2x-\cos^2x}{\sin x-\cos x} =\sin x+\cos x.$$
Odpowiedź

Przy podanych założeniach równość jest tożsamością.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 7

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Z p=sin⁡x+cos⁡xp=\sin x+\cos x wynika sin⁡xcos⁡x=p2−12.\sin x\cos x=\frac{p^2-1}{2}. Korzystamy ze wzoru na sumę sześcianów:

=p^3-\frac{3p(p^2-1)}2.$$
Odpowiedź

sin⁡3x+cos⁡3x=3p−p32\sin^3x+\cos^3x=\frac{3p-p^3}{2}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem