Cała strona · Karty pracy · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 17

temat „1.10. Przekształcenia wykresu funkcji (3)” · 5 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 4.1

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Mamy $|\cos x|\in[0,1]$ , więc mianownik należy do $[2,3]$ . Dodatni iloraz $4/d$ maleje wraz ze wzrostem dodatniego mianownika.

Odpowiedź

Najmniejsza wartość to $\frac43$ , a największa to $2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4.2

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Ponieważ $\sin|x|\in[-1,1]$ , mianownik należy do $[5/2,7/2]$ . Funkcja $-1/d$ rośnie dla dodatniego $d$ .

Odpowiedź

Najmniejsza wartość to $-\frac25$ , a największa to $-\frac27$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla $\sin x\ge0$ mamy $f(x)=-\sin x$ , a dla $\sin x<0$ mamy $f(x)=3\sin x$ . Na $[-\pi,0]$ wykres ma minimum $-3$ , a na $[0,\pi]$ minimum $-1$ . Liczba przecięć z prostą $y=m$ wynika z obu łuków.

Odpowiedź

Liczba rozwiązań wynosi:

$0$ dla $m<-3$ lub $m>0$ ;
$1$ dla $m=-3$ ;
$2$ dla $-3<m<-1$ ;
$3$ dla $m=-1$ lub $m=0$ ;
$4$ dla $-1<m<0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wyrażenie wymaga $\sin x\ne0$ i $\cos x\ne0$ , zatem $x\ne k\pi/2$ . W dziedzinie

=\cos x\,\frac{|\sin x|}{\sin x}.$$ Na kolejnych ćwiartkach są to odpowiednio fragmenty $\cos x$ lub $-\cos x$. Wartości $-1$, $0$ i $1$ wymagałyby punktów usuniętych.

Odpowiedź

$D_f=\mathbb R\setminus\{k\pi/2:k\in\mathbb Z\}$ oraz $W_f=(-1,0)\cup(0,1)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Gdy $\cos x\ge0$ , równanie ma postać $2\sin x\cos x=2\cos x$ i daje punkty z $\cos x=0$ . Gdy $\cos x<0$ , prawa strona jest równa $0$ , więc $\sin2x=0$ ; w tej części przedziału dochodzi $x=\pi$ .

Odpowiedź

$x\in\left\{\frac\pi2,\pi,\frac{3\pi}{2}\right\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem