MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 15

Dla $x\in[0,2\pi]$ mamy $\sin(x/2)+1\ge1$, natomiast $\cos2x\le1$. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy obie strony są równe $1$. Warunki $\sin(x/2)=0$ i $\cos2x=1$ spełniają wspólnie końce przedziału.

Niech $t=2x$. Równanie jest równoważne $\sin t+\cos t=-1$. W jednym okresie spełniają je $t=\pi$ i $t=3\pi/2$. Po powrocie do $x$ oraz ograniczeniu do $[0,2\pi]$ otrzymujemy cztery wartości.

Dla dowolnego $x$ zachodzi nierówność $|3\sin x+2\cos x|\le\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}<6.$ Lewa strona równania nie może więc przyjąć wartości $6$.

$f(x)=2\sin(-3x)=-2\sin3x$. Funkcja ma amplitudę $2$, okres $2\pi/3$ i miejsca zerowe $x=k\pi/3$.