MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 141

Z symetrii węzły $K$ i $L$ leżą na osi przechodzącej przez środki dwóch przeciwległych boków. Niech $x$ będzie odległością $K$ od lewego boku kwadratu; wówczas $L$ leży w tej samej odległości od prawego boku. Każda z czterech dróg od miasta do bliższego węzła ma długość $\sqrt{x^2+150^2},$ a droga między węzłami ma długość $300-2x$. Łączna długość to $S(x)=4\sqrt{x^2+22500}+300-2x,\qquad 0\leq x\leq150.$ Z równania $S'(x)=\frac{4x}{\sqrt{x^2+22500}}-2=0$ dostajemy $x=50\sqrt3$. Pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc jest to minimum. Każda droga od miasta do węzła ma wtedy długość $100\sqrt3$, a odcinek $KL$ ma długość $300-100\sqrt3$.