Cała strona · Karty pracy · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 128

temat „4.16. Zagadnienia optymalizacyjne” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 3

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Oznaczmy krawędzie przez $a$ , $2a$ i $c$ . Z warunku objętości $2a^2c=8$ mamy $c=\frac4{a^2}$ . Warunek na sumę krawędzi daje

\iff(a-1)(a-2)(3a+2)<0,$$ więc $a\in(1;2)$. Pole całkowite: $$P_c(a)=2(2a^2+3ac)=4a^2+\frac{24}{a}.$$ Pochodna zeruje się dla $a^3=3$ i zmienia znak z ujemnego na dodatni.

Odpowiedź

$P_c(a)=4a^2+\frac{24}{a}$ dla $a\in(1;2)$ . Minimalne pole ma prostopadłościan o krawędziach $\sqrt[3]{3}$ , $2\sqrt[3]{3}$ i $\frac{4\sqrt[3]{3}}{3}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech $b$ będzie krótszą podstawą, a $h=2-a$ wysokością. Dla trapezu opisanego na okręgu suma podstaw jest równa sumie ramion. Z twierdzenia Pitagorasa dla połowy trapezu otrzymujemy $ab=h^2,$ czyli $b=\frac{(2-a)^2}{a}$ . Warunki $h>0$ i $a>b$ dają $a\in(1;2)$ . Ponieważ każde ramię ma długość $(a+b)/2$ , $L=2(a+b)=\frac{4a^2-8a+8}{a}.$ Mamy $L'(a)=4-\frac8{a^2}$ , więc minimum występuje dla $a=\sqrt2$ . Wtedy wysokość oraz połowa różnicy podstaw są równe $2-\sqrt2$ .

Odpowiedź

a) $a\in(1;2)$ . b) $L(a)=\frac{4a^2-8a+8}{a}$ . c) Tangens kąta ostrego trapezu o najmniejszym obwodzie wynosi $1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem