Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Karty pracy · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 123

temat „4.14. Ekstrema funkcji” · 5 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Ekstremum funkcji ff występuje wtedy, gdy pochodna zmienia znak. Z wykresu widać zmianę znaku przy x=0x=0, x=1x=1 i x=4x=4. Przy x=2x=2 wykres pochodnej jedynie dotyka osi, pozostając po obu stronach poniżej niej, więc ekstremum tam nie powstaje.

Odpowiedź

B — fałszywe jest zdanie o ekstremum dla x0=2x_0=2.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Pochodna jest zawsze dodatnia: f′(x)=5x4+5=5(x4+1)>0.f'(x)=5x^4+5=5(x^4+1)>0. Funkcja jest więc ściśle rosnąca na R\mathbb R i nie ma ekstremów lokalnych.

Odpowiedź

D. Funkcja nie ma minimum lokalnego.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Dla funkcji z odpowiedzi C otrzymujemy h′(x)=9x2+2>0h'(x)=9x^2+2>0 dla każdego xx. Jest ona ściśle rosnąca, więc nie ma ani minimum, ani maksimum lokalnego. Pozostałe funkcje mają punkty zmiany monotoniczności.

Odpowiedź

C, czyli h(x)=3x3+2xh(x)=3x^3+2x.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Mamy f′(x)=x2−6x+9=(x−3)2≥0.f'(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\geq0. Pochodna zeruje się tylko dla x=3x=3 i nie zmienia tam znaku. Funkcja jest rosnąca na całej prostej, zatem nie ma ekstremum.

Odpowiedź

Funkcja ff nie ma ekstremum.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 5

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Rozpisujemy wartość bezwzględną:

1-(x+1)^2,&x<0,\\ 1-(x-1)^2,&x\geq0. \end{cases}$$ Obie gałęzie są parabolami skierowanymi w dół. Ich wierzchołki dają maksima dla $x=-1$ i $x=1$. Ponieważ w sąsiedztwie zera $f(x)>f(0)=0$, w zerze jest minimum lokalne.
Odpowiedź

Maksima lokalne są dla x=−1x=-1 i x=1x=1, a minimum lokalne dla x=0x=0.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem