MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 121

Liczymy pochodną: $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$ Jest ona ujemna dokładnie dla $0<x<2$, więc na tym przedziale funkcja maleje.

Pochodna ma postać $f'(x)=3x^3-12x^2+6x=3x(x^2-4x+2).$ Jej miejsca zerowe to $0$, $2-\sqrt2$ i $2+\sqrt2$. Znak pochodnej zmienia się kolejno na $-,+,-,+$. Przedział $\langle3;\infty)$ zawiera punkt $2+\sqrt2$, po obu stronach którego monotoniczność jest różna.

Z wykresu pochodnej odczytujemy jej zera: $-2,-1,0,1,2$. Wykres leży nad osią $OX$ dla $(-2;-1)\cup(0;1)\cup(2;\infty),$ a pod osią dla $(-\infty;-2)\cup(-1;0)\cup(1;2).$ Tam, gdzie $f'>0$, funkcja $f$ rośnie, a gdzie $f'<0$ — maleje.

Mamy $f'(x)=3x^2+2x+k.$ Dla $k\in(1;5)$ wyróżnik trójmianu spełnia $\Delta=4-12k<0.$ Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, $f'(x)>0$ dla każdego $x\in\mathbb R$.

Stała $k$ nie wpływa na pochodną: $f'(x)=15x^4+15x^2=15x^2(x^2+1)\geq0.$ Pochodna zeruje się tylko w izolowanym punkcie $x=0$, a poza nim jest dodatnia. Zatem wielomian jest rosnący na całej prostej.