MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 120

Po podstawieniu danych $x(t)=\frac12\cos2t$, więc $v(t)=x'(t)=-\sin2t$. Prędkość jest zerem, gdy $2t=k\pi$, czyli $t=k\frac\pi2$ dla $k=0,1,2,\ldots$. Warunek $v=\frac12$ daje $\sin2t=-\frac12$. Najmniejszy dodatni argument to $2t=\frac{7\pi}{6}$.

W punkcie $R$ obie gałęzie mają wartość $A/R^2$, więc funkcja jest ciągła. Pochodne jednostronne wynoszą jednak odpowiednio $A/R^3$ i $-2A/R^3$, zatem funkcja nie jest różniczkowalna w $R$. Pierwsza gałąź rośnie liniowo, a druga maleje jak $1/r^2$, więc maksimum jest osiągane przy $r=R$.

Po podstawieniu $v(t)=v_0-gt$ mamy $E(t)=\frac m2(v_0-gt)^2.$ Reguła łańcuchowa daje $E'(t)=-mg(v_0-gt)=mg(gt-v_0).$ Pochodna zeruje się, gdy $gt-v_0=0$.