MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 112

Dla dowolnego $x_0$ iloraz różnicowy wynosi $\frac{(x_0+h)^3-x_0^3}{h}=3x_0^2+3x_0h+h^2.$ Jego granica dla $h\to0$ istnieje i jest równa $3x_0^2$.

Dla dodatniego $x$ mamy $f(x)=x^{2/7}$, zatem $f'(x)=\frac27x^{-5/7}$. Ponieważ $128=2^7$, $f'(128)=\frac2{7\cdot2^5}=\frac1{112}.$

Mamy $f(\frac14)=\frac12$ oraz $f'(\frac14)=\frac1{2\sqrt{1/4}}=1$. Równanie stycznej: $y-\frac12=x-\frac14.$

Nachylenie szukanej stycznej wynosi $\tan120^\circ=-\sqrt3$. Ponieważ $f'(x_0)=2x_0$, mamy $x_0=-\frac{\sqrt3}{2}$ i $y_0=\frac34$. Stąd $y-\frac34=-\sqrt3\left(x+\frac{\sqrt3}{2}\right).$