MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 111

Rzędna $6$ odpowiada równaniu $\sqrt{x-3}=1$, czyli $x=4$. Rzędna $7$ odpowiada $x=7$. Współczynnik siecznej wynosi $\frac{7-6}{7-4}=\frac13.$

Wierzchołek paraboli ma odciętą $x=2$ i rzędną $f(2)=-3$. Ponadto $f(3)=-\frac94$. Nachylenie siecznej jest więc równe $\frac{-\frac94-(-3)}{3-2}=\frac34.$

Pochodna $f'(x)=2x$, więc styczna w punkcie o odciętej $2$ ma współczynnik kierunkowy $4$. Zatem $\tan\alpha=4$, co daje $\alpha\approx75{,}96^\circ$.

Korzystamy z ilorazu różnicowego.

a) Po rozwinięciu $f(2+h)-f(2)$ i podzieleniu przez $h$ granica wynosi $3$.

b) Analogicznie dla $x_0=-3$ otrzymujemy $3x_0^2+4x_0=15$.

c) Po pomnożeniu przez wyrażenie sprzężone: $\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}=\frac1{\sqrt{9+h}+3}\longrightarrow\frac16.$

Iloraz różnicowy w punkcie $0$ ma dla $h\neq0$ postać $\frac{f(h)-f(0)}h=\frac1h.$ Nie ma on skończonej granicy dla $h\to0$. Równoważnie: funkcja nie jest nawet ciągła w $0$, a różniczkowalność implikowałaby ciągłość.