MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 109

Wielomian jest ciągły. Obliczamy $w(1)=-1$ oraz $w(\frac43)=\frac29$. Wartości na końcach przedziału mają przeciwne znaki, więc z własności Darboux istnieje w tym przedziale punkt, w którym $w(x)=0$.

Niech $h(x)=x-3\sin x$. Jest to funkcja ciągła, przy czym $h\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi2-3<0,\qquad h(\pi)=\pi>0.$ Z twierdzenia o wartości pośredniej istnieje między tymi punktami miejsce zerowe funkcji $h$, czyli rozwiązanie danego równania.

Dla $h(x)=x^3-2x^2+x-8$ mamy $h(2)=-6$ i $h(3)=4$, więc ciągłość zapewnia istnienie pierwiastka w $(2,3)$. Dalej $h(2{,}7)\approx-0{,}197$, a $h(2{,}8)\approx1{,}072$, zatem $x_0\in(2{,}7;2{,}8)$ i po zaokrągleniu do jednego miejsca po przecinku $x_0\approx2{,}7$.