MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 106

Funkcja $f$ ma w obu nieskończonościach granicę równą ilorazowi współczynników wiodących, czyli $-2$. Jej asymptotą poziomą jest $y=-2$. Dla $m\neq0$ funkcja $g$ ma granicę $6/m$ przy $x\to\pm\infty$; dla $m=0$ nie ma asymptoty poziomej. Warunek wspólnej asymptoty daje $6/m=-2$.

Granica funkcji $f$ w obu nieskończonościach wynosi $-\frac14$. Dla funkcji $g$ iloraz współczynników wiodących daje $m/3$ (także dla $m=0$, gdy granica wynosi $0$). Zatem $\frac m3=-\frac14.$

Mianownik zeruje się dla $x=-1$ i $x=1$. Licznik ma w tych punktach wartości odpowiednio $3$ i $1$, więc obie proste są asymptotami pionowymi. Stopnie licznika i mianownika są równe, a iloraz współczynników wiodących wynosi $2$.

Wystarczą dwa ciągi argumentów dążące do $+\infty$. Dla $x_n=n$ mamy $\{x_n\}=0$, natomiast dla $y_n=n+\frac12$ mamy $\{y_n\}=\frac12$. Skoro wartości funkcji wzdłuż tych ciągów mają różne granice, granica funkcji w nieskończoności nie istnieje.