MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 105

Porównujemy najwyższe potęgi $x$.

a) Iloraz współczynników przy $x^2$ to $-\frac53$.

b) Licznik ma wyraz wiodący $7x^5$, a mianownik $2x^5$, więc granica to $\frac72$.

c) Iloraz zachowuje się jak $3x$, który dla $x\to-\infty$ dąży do $-\infty$.

Dla $x\to+\infty$ wyłączamy $x^2$ pod pierwiastkiem kwadratowym i $x^3$ pod sześciennym:

Po podzieleniu licznika i mianownika pierwszego ułamka przez $\sqrt{x}$ otrzymujemy $a=\lim_{x\to\infty}\frac1{\sqrt{1+2/x}-2/\sqrt{x}}=1.$ Dla $x\to-\infty$ licznik drugiego ułamka zachowuje się jak $2x^2$, a mianownik jak $4x^2$, więc $b=\frac12$. Zatem $a=2b$.

Stopnie licznika i mianownika są równe, więc granica w nieskończoności jest ilorazem współczynników wiodących: $\frac24=\frac12$.

a) Dla $x\to\pm\infty$ iloraz wyrazów wiodących wynosi $1/(1/3)=3$, więc asymptotą poziomą jest $y=3$.

b) Dziedzina funkcji nie sięga do $-\infty$. Dla $x\to+\infty$