MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 104

Badamy znaki licznika i mianownika po wskazanej stronie punktu.

a) Licznik dąży do $-5$, mianownik do $0^+$, więc granica to $-\infty$.

b) $x^2-1=(x-1)(x+1)\to0^+$, a licznik do $3$, więc $+\infty$.

c) Mianownik $\sqrt{x-5}\to0^+$, a licznik do $5$, więc $+\infty$.

Mianownik $(x-2)(x-3)$ dla $x\to3^-$ dąży do $0^-$, a licznik $-x+2$ do $-1$. Iloraz dąży więc do $+\infty$.

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:

Dziedzina wyklucza zera mianownika: $x\neq-2$ i $x\neq4$. Poza tymi punktami $f(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+2)}=\frac{x+4}{x+2}.$ Punkt $x=4$ jest usuwalną dziurą, natomiast przy $x=-2$ granice jednostronne są nieskończone o przeciwnych znakach. Jest to asymptota pionowa.

Mianownik rozkłada się jako $(2x+3)(x-3)$, więc z dziedziny usuwamy $x=-\frac32$ i $x=3$. Dla pozostałych argumentów $f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(2x+3)(x-3)}=\frac{x+3}{2x+3}.$ Punkt $3$ jest usuwalny, a w $x=-\frac32$ mianownik dąży do zera przy niezerowym liczniku. To jedyna asymptota pionowa.