MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 103

Dla $x>3$ mamy $|x-3|=x-3$, więc iloraz jest równy $1$. Jego granica prawostronna również wynosi $1$.

Granica lewostronna wynosi $3\cdot1-2=1$, a prawostronna $-1-1=-2$. Są różne, zatem granica dwustronna w punkcie $1$ nie istnieje.

Dla $x=-2-h$, gdzie $h\to0^+$, pierwszy iloraz ma postać $\frac{-h}{\sqrt{h(4+h)}}=-\sqrt{\frac{h}{4+h}}\longrightarrow0.$ Dla $x=4-h$, gdzie $h\to0^+$, drugi iloraz jest równy $\frac{-h}{\sqrt{h(8-h)}}=-\sqrt{\frac{h}{8-h}}\longrightarrow0.$ Obie granice są równe.

Dla lewej gałęzi $x^2-4x+6=(x-2)^2+2$, więc granica lewostronna w $2$ wynosi $2$. Dla prawej gałęzi $-x^2+2x+2$ podstawienie $x=2$ również daje $2$. Granice jednostronne są równe, zatem istnieje granica dwustronna.

Granica lewostronna w $-1$ wynosi $(m^2-1)(-1)=1-m^2$, a prawostronna $-1-3=-4$. Warunek istnienia granicy to $1-m^2=-4$, czyli $m^2=5$.