MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 10

Równanie $\sin x=-\frac12$ daje $x=-\frac\pi6+2k\pi$ lub $x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi$. Po ograniczeniu do $[-2\pi,2\pi]$ pozostają cztery wartości.

Korzystamy z przebiegu sinusa na jednym okresie i punktów, w których przyjmuje wartości $1$, $1/2$ i $-1/2$.

Z $a\in(\pi,2\pi)$ wynika $-a\in(-2\pi,-\pi)$, więc $\sin(-a)>0$. Ponadto $\cos\left(a+\frac\pi2\right)=-\sin a>0,$ bo $\sin a<0$ w III i IV ćwiartce. Iloczyn jest zatem dodatni.

Mamy $a-\pi\in(0,\pi)$, zatem $\sin(a-\pi)>0$. Jednocześnie $a/2\in(\pi/2,\pi)$, więc $\cos(a/2)<0$.