MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 77
rozdział 2. Wielomiany · temat „2.7. Równania wielomianowe” · 8 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 5
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Zrównujemy w(x)=2x-3. Po przeniesieniu otrzymujemy (x+2)(x-2)(x-3)=0; rzędne liczymy ze wzoru prostej.
Punkty przecięcia: (-2,-7), (2,1), (3,3).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Zrównujemy wielomian ze wzorem prostej, rozkładamy równanie na czynniki i obliczamy rzędne z równania prostej.
a) (-3,-10),(0,2),(3,14); b) (-\sqrt2,1-3\sqrt2),(\frac14,\frac74),(\sqrt2,1+3\sqrt2); c) (-1,-7),(1,1),(3,9).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 7
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Rozwiązujemy równanie u(x)=w(x); następnie podstawiamy znalezione odcięte do jednego z wielomianów.
a) (0,-3),(2,-3); b) (-3,\frac{15}{2}),(0,-3),(2,-\frac53); c) (-2,-7),(2,-3).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 8
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wielomian budujemy jako iloczyn czynników odpowiadających wskazanym pierwiastkom; jeden z nich powtarzamy, aby uzyskać stopień 4.
Przykładowo a) w(x)=(x^2-2)^2; b) w(x)=(x-1)^2(x-2)(x-3).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 9
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Bierzemy iloczyn potęg (x+2)^r(x-3)^s o łącznym stopniu n i dobieramy stałą tak, aby wartość dla x=0 była równa 1.
Przykładowo a) -\frac16(x+2)(x-3); b) \frac1{36}(x+2)^2(x-3)^2; c) -\frac1{216}(x+2)^3(x-3)^3.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 10
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Objętość jest iloczynem krawędzi: V=x(x+4)(x-1)=x^3+3x^2-4x, przy x>1. Równanie V=12 rozkłada się jako (x-2)(x^2+5x+6)=0.
V(x)=x^3+3x^2-4x dla x>1; objętość 12 otrzymujemy dla x=2.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 11
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dla x>3 funkcja V(x)=x(x-3)(x+5) jest rosnąca. Mamy V(3)=0<30<V(4)=36, więc rozwiązanie spełnia 3<x<4. Suma krawędzi to 4[x+(x-3)+(x+5)]=12x+8.
Ponieważ x<4, suma długości wszystkich krawędzi jest mniejsza niż 12\cdot4+8=56 cm.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 12
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Z równania x(x+1)(4x-3)=\frac34 i warunku x>\frac34 otrzymujemy x=\frac{\sqrt3}{2}. Pozostałe krawędzie to 1+\frac{\sqrt3}{2} i 2\sqrt3-3; dwie najmniejsze wyznaczają ścianę o najmniejszym polu.
Najmniejsza ściana ma krawędzie \frac{\sqrt3}{2} m i 2\sqrt3-3 m, a pole 3-\frac{3\sqrt3}{2}\ \mathrm{m}^2\approx0{,}4\ \mathrm{m}^2.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem