MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 73
rozdział 2. Wielomiany · temat „2.6. Rozkład wielomianu na czynniki (2)” · 6 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
6 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wyłączamy wspólną potęgę x, po czym stosujemy wzór na sumę lub różnicę sześcianów.
a) x(x+3)(x^2-3x+9); b) x^2(x-2)(x^2+2x+4); c) -x(x+4)(x^2-4x+16); d) -\frac18x^2(x-8)(x^2+8x+64); e) 27x^3(x+\frac23)(x^2-\frac23x+\frac49); f) 125x^5(x-\frac15)(x^2+\frac15x+\frac1{25}).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
8 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Grupujemy wyrazy parami, wyłączamy wspólny nawias, a następnie dalej rozkładamy różnicę kwadratów lub sześcianów.
a) (x+2)(x-2)(x^2+2x+4); b) (2x-1)(7x^2+2); c) (x-3)(2x^2+5); d) (x-3)(x+1)(x^2-x+1); e) \frac16(3x-1)(x-\sqrt6)(x+\sqrt6); f) \frac13(2x-9)(x-3)(x+3); g) (x-\sqrt2)(x^2+\sqrt2); h) \sqrt3x(x+\sqrt2)(x^2+\frac{\sqrt3}{3}).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Grupujemy wyrazy, aby wydzielić wspólny wielomian, a pozostałe czynniki rozkładamy standardowymi wzorami.
a) (x+1)^3(x-1)^2; b) 4(x-2)(x-\frac{\sqrt2}{2})^2(x+\frac{\sqrt2}{2})^2; c) 3(x+\frac23)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)(x^2+1).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Każdy z dwóch podanych czynników rozkładamy osobno przez wyłączenie wspólnego czynnika, grupowanie i wzory skróconego mnożenia.
a) 20x^2(x-\frac25)(x-1)(x+6)(x^2+2); b) -\frac14x^2(x-7)(x-2)(x+2)(x+4)^2; c) 7x^2(x-2)(x-1)^2(x+2)(x+3)(x^2+x+1); d) 3x^2(x-\frac13)^2(x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
6 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Do wielomianu dodajemy i odejmujemy odpowiedni wyraz kwadratowy, aby otrzymać różnicę dwóch kwadratów.
a) (x^2-\sqrt2x+1)(x^2+\sqrt2x+1); b) 4(x^2-\sqrt3x+\frac32)(x^2+\sqrt3x+\frac32); c) 9(x^2-\frac23\sqrt6x+\frac43)(x^2+\frac23\sqrt6x+\frac43); d) (x^2-x+3)(x^2+x+3); e) 16(x^2-\frac34x+\frac14)(x^2+\frac34x+\frac14); f) 4(x^2-x+\frac32)(x^2+x+\frac32).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Znajdujemy prosty pierwiastek wymierny, wyłączamy odpowiadający mu czynnik liniowy i rozkładamy otrzymany trójmian.
a) 2(x-1)(x^2-\frac32x+1); b) 3(x+1)(x-\frac{7-\sqrt{13}}6)(x-\frac{7+\sqrt{13}}6); c) 8(x+\frac12)(x-\frac14)(x-1); d) 64(x-\frac14)(x^2+\frac7{16}x+\frac1{16}).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem