MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 312

Są to pionowe przesunięcia podstawowych wykresów logarytmicznych.

a) $\log_2x-2=0$, więc $x=4$; przesunięcie o $2$ w dół. b) $\log_3x+1=0$, więc $x=\frac13$; przesunięcie o $1$ w górę. c) $\log_{1/3}x-2=0$, więc $x=(\frac13)^2=\frac19$; przesunięcie malejącego wykresu o $2$ w dół.

Argument logarytmu musi być dodatni, a jego miejsce zerowe wyznacza położenie pionowej asymptoty.

a) $x+3>0$: $D=(-3,\infty)$, asymptota $x=-3$. b) $x-1>0$: $D=(1,\infty)$, asymptota $x=1$. c) $x+2>0$: $D=(-2,\infty)$, asymptota $x=-2$. Wykresy są odpowiednimi poziomymi przesunięciami funkcji bazowych.

Najpierw wyznaczamy dziedzinę, a następnie rozwiązujemy $f(x)<0$. Dla podstaw mniejszych od $1$ odwracamy kierunek nierówności.

a) $x>-1$ i $\log_2(x+1)<2$, więc $-1<x<3$. b) $x>1$ i $\log_{1/2}(x-1)<1$, więc $x>\frac32$. c) $x>2$ i $\log_3(x-2)<-3$, więc $2<x<\frac{55}{27}$. d) $x>-3$ i $\log_3(x+3)<1$, więc $-3<x<0$. e) $x>-4$ i $\log_{1/2}(x+4)<-1$, więc $x>-2$. f) $x>1$ i $\log_{1/3}(x-1)<3$, więc $x>\frac{28}{27}$.

a) $D=(0,\infty)$; wykres $\log_2x$ odbijamy względem $OX$ i przesuwamy o $2$ w górę. b) $D=(0,\infty)$ i $-\log_{1/3}x=\log_3x$, więc jest to $\log_3x-1$. c) $D=(-\infty,0)$; odbijamy $\log_3x$ względem $OY$ i przesuwamy o $2$ w dół. d) $D=(-\infty,0)$; odbijamy $\log_{1/2}x$ względem $OY$ i przesuwamy o $3$ w górę.

a) $1-x>0$, więc $D=(-\infty,1)$; asymptota $x=1$. Wykres jest malejący. b) $-2-x>0$, więc $D=(-\infty,-2)$; asymptota $x=-2$. Ponieważ malejący argument łączy się z malejącym logarytmem, wykres rośnie. c) $-1-x>0$, więc $D=(-\infty,-1)$; asymptota $x=-1$; wykres maleje. Każdy szkic powstaje przez odbicie względem $OY$ i przesunięcie poziome.

a) $D=(2,\infty)$. Moduł odbija ujemny fragment logarytmu; zero $x=3$, funkcja maleje na $(2,3]$ i rośnie na $[3,\infty)$.

b) $D=(-1,\infty)$; zero $x=0$, funkcja maleje na $(-1,0]$ i rośnie na $[0,\infty)$.

c) $D=\mathbb R\setminus\{2\}$; $|x-2|=1$ daje zera $1,3$. Funkcja maleje na $(-\infty,2)$ i rośnie na $(2,\infty)$.

d) $D=\mathbb R\setminus\{-1\}$; zera $-2,0$; funkcja rośnie na $(-\infty,-1)$ i maleje na $(-1,\infty)$.

e) $D=(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$; zera $-2,2$; funkcja maleje na $(-\infty,-1)$ i rośnie na $(1,\infty)$.

f) $D=\mathbb R$; zero $0$; funkcja rośnie na $(-\infty,0]$ i maleje na $[0,\infty)$.

a) Lewa strona ma zakres $[-4,\infty)$. Dla poziomu powyżej minimum są cztery przecięcia, w minimum dwa, a poniżej żadnego.

b) Zakres wynosi $(-\infty,2]$. W maksimum są dwa przecięcia, poniżej cztery, a powyżej żadnego.

c) Równanie jest równoważne $|\log x^2|=m^2-4$. Gdy $|m|<2$, prawa strona jest ujemna; dla $m=\pm2$ jest zerem i daje $x=\pm1$; dla $|m|>2$ otrzymujemy dwie dodatnie wartości $x^2$, czyli cztery wartości $x$.

a) Niech $t=|x|>0$. Warunek $|\log_{1/3}t|\ge1$ daje $t\le\frac13$ lub $t\ge3$. Po uwzględnieniu obu znaków $x$ otrzymujemy cztery przedziały.

b) Ponieważ podstawa jest mniejsza od $1$, $\log_{1/2}(|x|+2)<-2$ daje $|x|+2>4$, czyli $|x|>2$.

c) $-\log_4(|x|-1)\ge0$ jest równoważne $0<|x|-1\le1$, zatem $1<|x|\le2$.

a) Skan źródłowy pokazuje podstawę $\frac12$ (Markdown błędnie ma $\frac13$). Porównujemy wykresy $y=\log_{1/2}(x+1)$ i $y=-\frac23x$. Przecinają się w $x=0$ oraz $x=3$: odpowiednio obie strony mają wartości $0$ i $-2$.

b) Dla $x\ge1$ równanie ma postać $\log_3x=\frac{x-1}{2}$. Punkty przecięcia to $x=1$ i $x=3$; ścisła wklęsłość logarytmu wyklucza kolejne przecięcia.

c) Po podstawieniu $t=-x>0$ otrzymujemy $\log_2t=1-t$. Lewa strona rośnie, prawa maleje, więc jedyne przecięcie $t=1$ daje $x=-1$.

a) Z definicji zbiorów $A\cap B=\{(x,y):x>-5,\ |x+2|\le y\le\log_2(x+5)\}.$ Obszar istnieje między przecięciami krzywych: $(-3,1)$ oraz w punkcie o odciętej $\alpha\approx0{,}4449$, gdzie $\log_2(\alpha+5)=\alpha+2$. Ponadto $A\setminus B=\{(x,y):x>-5,\ y\le\log_2(x+5),\ y<|x+2|\}.$

b) Krzywe przecinają się dla $|x|=3$, bo $\log_2(4)=5-3=2$. Stąd $A\cap B=\{(x,y):|x|\le3,\ \log_2(|x|+1)\le y\le5-|x|\},$ $A\setminus B=\{(x,y):y\ge\log_2(|x|+1),\ y>5-|x|\}.$