MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 276

a) Odejmujemy ćwiartkę koła promienia $1$ od kwadratu boku $1$: $P=1-\pi/4$.

b) Odcinki od wierzchołka kąta do punktów styczności mają długość $\operatorname{ctg}30^\circ=\sqrt3$. Deltoid złożony z dwóch trójkątów prostokątnych ma pole $\sqrt3$. Odejmujemy wycinek o kącie $120^\circ$: $P=\sqrt3-\pi/3$.

c) Zacieniowany odcinek koła jest różnicą wycinka o kącie $135^\circ$ i trójkąta o dwóch bokach $1$: $P=3\pi/8-\sqrt2/4$.

Korzystamy z twierdzenia o kącie wpisanym oraz z faktu, że kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy.

a) Średnica wyznacza kąt prosty, stąd $\alpha=\beta=60^\circ$. b) Z łuków wyznaczonych przez kąty $50^\circ$ i $75^\circ$ otrzymujemy $\alpha=50^\circ$, $\beta=55^\circ$. c) Kąt $50^\circ$ jest kątem przy podstawie trójkąta równoramiennego z dwoma promieniami, więc odpowiedni kąt środkowy ma $80^\circ$. Ponieważ zaznaczona cięciwa jest średnicą, $\alpha=180^\circ-80^\circ=100^\circ$. Kąt $\beta$ opiera się na łuku większym, zatem $\beta=(360^\circ-100^\circ)/2=130^\circ$.

Średnica $AC=4$, a $AB=2\sqrt3$. W trójkącie prostokątnym $ABC$ mamy $BC=2$, zatem jego kąty ostre mają $30^\circ$ i $60^\circ$. Z twierdzenia o kącie między styczną i cięciwą szukane kąty są równe kątom wpisanym opartym na odpowiednich cięciwach.

Osiem równych łuków ma po $45^\circ$. Kąt między styczną a cięciwą jest równy połowie miary łuku tej cięciwy. a) Dla jednego łuku otrzymujemy $22{,}5^\circ$. b) Cięciwa obejmuje trzy łuki, czyli $135^\circ$, stąd $67{,}5^\circ$.

a) Jeśli ramiona trójkąta prostokątnego równoramiennego mają długość $x$, to wysokość na przeciwprostokątną wynosi $x/\sqrt2=3$, więc $x=3\sqrt2$. Promień okręgu wpisanego to $r=(2x-x\sqrt2)/2=3(\sqrt2-1)$, zatem obwód okręgu wynosi $6\pi(\sqrt2-1)$.

b) Trójkąt o bokach $20,21,29$ jest prostokątny. Jego promień wpisany to $(20+21-29)/2=6$, więc długość okręgu wynosi $12\pi$.

Długości odcinków stycznych poprowadzonych z tego samego wierzchołka są równe. Przy półobwodzie $s=(16+13+9)/2=19$ mamy $AP=s-a=3$, $BQ=s-b=6$ i $CR=s-c=10$.