MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 99

Punkt $(x,y)$ należy do hiperboli $y=\frac ax$ dokładnie wtedy, gdy $xy=a$.

a) Dla $A$ iloczyn wynosi $32$, a dla $B$ — $8$, więc punkty nie leżą na tej samej hiperboli.

b) $(3-2\sqrt2)(3+2\sqrt2)=1,$ $2\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{4}=1.$ Oba punkty leżą zatem na hiperboli $y=\frac1x$.

Współczynnik obliczamy ze wzoru $a=x_Py_P$. Dla $a>0$ funkcja maleje na każdym z przedziałów $(-\infty,0)$ i $(0,\infty)$, a dla $a<0$ na każdym z nich rośnie. Otrzymujemy:

• a) $a=4$, więc $f(x)=\frac4x$ i $f(0{,}4)=10$;
• b) $a=-8$, więc $f(x)=-\frac8x$ i $f(0{,}4)=-20$;
• c) $a=\sqrt[3]{\frac18}=\frac12$, więc $f(x)=\frac1{2x}$ i $f(0{,}4)=\frac54$;
• d) $a=(\sqrt3-2)(4+2\sqrt3)=-2$, więc $f(x)=-\frac2x$ i $f(0{,}4)=-5$.

Pierwszy punkt ma współrzędne $(\frac16,9)$, więc $a=\frac16\cdot9=\frac32$. Dla przecięcia z prostą $y=3$ mamy $3=\frac{3/2}{x}$, stąd $x=\frac12$.

Obie współrzędne są całkowite dokładnie wtedy, gdy niezerowe całkowite $x$ jest dzielnikiem $18$. Bierzemy więc $x\in\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6,\pm9,\pm18\}$ i obliczamy $y=18/x$.

Punkty przecięcia prostych z odpowiednimi hiperbolami mają współrzędne $(\pm\sqrt2,\pm\sqrt2)$ we wszystkich kombinacjach znaków. Zacieniowana figura ze skanu składa się z dwóch przystających trójkątów: każdy ma pionową podstawę długości $2\sqrt2$ i wysokość $\sqrt2$. Pole jednego wynosi $2$, więc łączne pole wynosi $4$.

Wierzchołki mają współrzędne $(1,0)$, $(1,20)$, $(5,0)$ i $(5,4)$. Tworzą trapez o równoległych pionowych bokach długości $20$ i $4$, odległych o $4$. Zatem $P=\frac{20+4}{2}\cdot4=48.$

Punkty to $A=(1,1)$, $B=(2,\frac12)$, $C=(3,\frac13)$. Korzystając z wyznacznika wektorów $\overrightarrow{AB}=(1,-\frac12)$ i $\overrightarrow{AC}=(2,-\frac23)$, otrzymujemy $P=\frac12\left|1\cdot\left(-\frac23\right)-2\cdot\left(-\frac12\right)\right|=\frac16.$

Dla $x>0$ funkcja $f(x)=-\frac4x$ jest rosnąca. Zbiór rozwiązań $f(x)<m$ ma na dodatniej półosi kończyć się w $x=\frac83$, więc graniczna wartość spełnia $m=f\left(\frac83\right)=-\frac4{8/3}=-\frac32.$ Dla $x<0$ wartości funkcji są dodatnie, więc nie spełniają nierówności z tym ujemnym $m$.

Dla $a>0$ nierówność $\frac ax>2$ jest spełniona tylko na przedziale $(0,\frac a2)$. Dla $a<0$ jest spełniona tylko na $(\frac a2,0)$. Porównując końce tych przedziałów z podanymi, otrzymujemy kolejno $a/2=7$, $a/2=-5$ i $a/2=-1/6$.

Na każdym z przedziałów dziedziny funkcja jest monotoniczna, więc zbiór wartości wyznaczają wartości na końcach $-3,-1,2,6$. Obliczenie $a/x$ daje:

• a) dla $a=12$: $[-12,-4]\cup[2,6]$;
• b) dla $a=-4$: $[-2,-\frac23]\cup[\frac43,4]$;
• c) dla $a=\frac32$: $[-\frac32,-\frac12]\cup[\frac14,\frac34]$;
• d) dla $a=-\frac23$: $[-\frac13,-\frac19]\cup[\frac29,\frac23]$.