MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 96

W rozwinięciu $(A+B)^3$ składnik zawierający $AB^2$ ma współczynnik $3$. Dla $A=2\sqrt3x$, $B=4y$ otrzymujemy $3\cdot2\sqrt3x\cdot(4y)^2=96\sqrt3\,xy^2.$

Podzielność przez $x-1$ jest równoważna warunkowi $w(1)=0$: $6+3-5+p=0,$ stąd $p=-4$.

Z twierdzenia o reszcie $w(2)=8-8+2a+\frac34=1.$ Stąd $2a=\frac14$, czyli $a=\frac18=0{,}125$. Trzy pierwsze cyfry po przecinku to $1,2,5$.

Ze wzorów Viète'a $S=x_1+x_2=-(m+1),\qquad P=x_1x_2=1-m^2.$ Dwa różne pierwiastki wymagają $\Delta=(5m-3)(m+1)>0,$ czyli $m<-1$ lub $m>\frac35$. Ponadto $x_1^3+x_2^3+7x_1x_2=S^3-3PS+7P.$ Po podstawieniu i zmianie znaku warunek z zadania ma postać $4m^3+13m^2-9=(m+3)(m+1)(4m-3)<0.$ Jego rozwiązanie przecinamy z warunkiem na wyróżnik.

Przekształcamy lewą stronę w sumę kwadratów i dodatniej stałej: $x^4-x^2-2x+3=(x^2-1)^2+(x-1)^2+1.$ Oba kwadraty są nieujemne, a ostatni składnik jest równy $1$, więc cała suma jest dodatnia dla każdego $x\in\mathbb R$.

Suma współczynników jest równa $w(1)$, więc liczba $1$ jest jednym z trzech pierwiastków. Trzy liczby w ciągu arytmetycznym o różnicy $3$ mają postać $t-3,t,t+3$. Liczba $1$ może być pierwszym, środkowym albo trzecim wyrazem, co daje zbiory pierwiastków $\{1,4,7\},\quad\{-2,1,4\},\quad\{-5,-2,1\}.$ Rozwijając odpowiadające iloczyny jednomianów, otrzymujemy trzy możliwe trójki współczynników.

Grupujemy wyrazy: $x^3-6x^2-9x+54=x^2(x-6)-9(x-6)=(x-6)(x-3)(x+3).$ Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się którykolwiek czynnik.