MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 100

Na przedziale $\langle2;8\rangle$ funkcja $f(x)=\frac ax$ jest malejąca dla $a>0$, a rosnąca dla $a<0$.

a) Największa wartość dodatnia jest osiągana dla $x=2$:

$$\frac a2=6,\qquad a=12.$$

b) Najmniejsza wartość dodatnia jest osiągana dla $x=8$:

$$\frac a8=\frac16,\qquad a=\frac43.$$

c) Dla $a<0$ najmniejsza wartość jest osiągana dla $x=2$:

$$\frac a2=-8,\qquad a=-16.$$

d) Końce zbioru wartości odpowiadają końcom dziedziny:

$$\frac a8=\frac52,\qquad \frac a2=10.$$

Oba równania dają $a=20$.

Z warunku $P\in W_f$ otrzymujemy

$$-9\sqrt2=\frac a{\sqrt2},\qquad a=-18.$$

Na przedziale $(-\infty;-3\rangle$ wartości $-\frac{18}{x}$ rosną od $0$ do $6$, a na $\langle1;\infty)$ rosną od $-18$ do $0$. Wartość $0$ nie jest osiągana.

Ponieważ $y=\frac{15}{x}$, dla każdej wartości $y\ne0$ odpowiadający argument to $x=\frac{15}{y}$.

Dla $y\in\langle-5;-1\rangle$ otrzymujemy $x\in\langle-15;-3\rangle$, a dla $y\in\langle3;15\rangle$ otrzymujemy $x\in\langle1;5\rangle$.

Wykres $f$ ma gałęzie w I i III ćwiartce, a wykres $g(x)=-\frac5x$ w II i IV. Ich suma jest opisana równaniem $|xy|=5$, więc pozostaje niezmieniona po odbiciu względem obu osi układu oraz prostych $y=x$ i $y=-x$.

Osie $OX$ i $OY$ nie przecinają wykresów. Na prostej $y=x$ równanie $x^2=5$ daje dwa punkty wykresu $f$. Na prostej $y=-x$ równanie $-x^2=-5$ daje dwa punkty wykresu $g$.

Końcami odcinka są $A\left(a,\frac1a\right)$ i $B\left(b,\frac1b\right)$. Ze wzoru na środek odcinka:

$$\frac{a+b}{2}=5,\qquad \frac{\frac1a+\frac1b}{2}=\frac5{21}.$$

Pierwsze równanie daje $a+b=10$. Drugie zapisujemy jako

$$\frac{a+b}{2ab}=\frac5{21}.$$

Po podstawieniu $a+b=10$ otrzymujemy $\frac5{ab}=\frac5{21}$, czyli $ab=21$.

a) $g(x)=-f(x)=\frac7{3x}$. Współczynnik jest dodatni, więc wykres leży w I i III ćwiartce, a funkcja maleje na każdym z przedziałów swojej dziedziny.

b)

$$g(x)=f(-x)=-\frac7{3(-x)}=\frac7{3x},$$

zatem wnioski są takie jak w a).

c)

$$g(x)=-f(-x)=-\frac7{3x}.$$

Współczynnik jest ujemny, więc wykres leży w II i IV ćwiartce, a funkcja rośnie na każdym z przedziałów swojej dziedziny.

Niech $P\left(x,\frac ax\right)$ będzie dowolnym punktem wykresu, gdzie $x\ne0$. Kwadrat jego odległości od początku układu wynosi

$$d^2=x^2+\frac{a^2}{x^2}.$$

Ponieważ

$$\left(|x|-\frac{|a|}{|x|}\right)^2\ge0,$$

to $x^2+\frac{a^2}{x^2}\ge2|a|$. Obie strony są nieujemne, więc po spierwiastkowaniu $d\ge\sqrt{2|a|}$.

Warunek $A(8,3)\in W_f$ daje

$$3=\frac{m^2-2m}{8}.$$

Stąd

$$m^2-2m-24=0,\qquad (m-6)(m+4)=0.$$

Skoro $(p,q)$ leży na wykresie, to $p\ne0$ oraz

$$q=\frac ap.$$

Dla argumentu $-p$ otrzymujemy

$$f(-p)=\frac a{-p}=-\frac ap=-q.$$

Zatem punkt $(-p,-q)$ również spełnia równanie wykresu.