MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 95

Warunek $w(t)=-w(-t)$ oznacza, że suma części parzystych w punktach $t$ i $-t$ jest zerowa. Ponieważ $w(t)+w(-t)=2(-2t^4+at^2+b),$ dla $t=1$ i $t=\sqrt2$ dostajemy $a+b=2,\qquad 2a+b=8.$ Stąd $a=6$ i $b=-4$.

W sumie wielomianów współczynniki przy kolejnych potęgach to $a^2-9$, $b^2-1$, $b-1$, $a+3$, $1$, $1$. Stopień $4$ można uzyskać dla $a=\pm3,b=-1$; stopień $3$ dla $a=3,b=1$; stopień $2$ dla $a=-3,b=1$. Współczynnik przy $x^2$ jest jednak stale równy $1$, więc suma nigdy nie może być wielomianem stopnia pierwszego.

Najpierw $(x-2)(x+2)=x^2-4$. Korzystamy z tożsamości $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ dla $a=x^2$, $b=4$: $V=(x^2-4)(x^4+4x^2+16)=x^6-64.$

Z warunku $w(-1)=0$ mamy $-1+a+4=0$, więc $a=-3$. Z twierdzenia o reszcie reszta z dzielenia przez $x-1$ jest równa $w(1)=1-3+4=2.$

W odpowiedzi C wyraz wolny jest równy $-1$, więc trzeba sprawdzić dzielniki $-1$ i $1$. Rozkład $x^4-x^3+x-1=(x-1)(x^3+1)=(x-1)(x+1)(x^2-x+1)$ pokazuje, że oba są pierwiastkami. Dla pozostałych odpowiedzi warunek nie zachodzi.

Ze skanu odczytujemy, że $f$ ma trzy jednokrotne miejsca zerowe $-1,1,2$. Czynnik $(x+6)^2$ daje pierwiastek dwukrotny $-6$, a $x^2+1$ nie ma zer rzeczywistych. Czynnik $x^2-4$ daje zera $-2,2$; zero $2$ występuje także w $f$, więc w iloczynie ma krotność $2$. Pozostałe zera są jednokrotne.

Dla $x\ne0$ znak $w(x)$ jest znakiem $(x-7)(x+3)$. Wartość jest dodatnia dla $x<-3$ lub $x>7$. W przedziale $[-10,10]$ są to liczby $-10,-9,\ldots,-4$ (siedem liczb) oraz $8,9,10$ (trzy liczby), razem $10$.

Warunek objętości daje $a(a-1)(a+1)=a^3-a=60.$ Dla $a>1$ rozwiązaniem jest $a=4$, zatem krawędzie mają długości $3,4,5$. Pole powierzchni wynosi $2(3\cdot4+4\cdot5+3\cdot5)=2(12+20+15)=94.$