MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 94

Sprowadzamy każde równanie do postaci iloczynowej:

a) $x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2.$

b) $x^3-7x^2+15x-9=(x-1)(x-3)^2.$

c) Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na lewą stronę:

$$x^5-2x^4-\frac92x^3+9x^2+2x-4 =\frac12(x-2)^2(x+2)(2x^2-1).$$

d) $x^6-3x^4+3x^2-1=(x^2-1)^3=(x-1)^3(x+1)^3.$

e)

$$x^3(x^2-x-3)-2x+5x^2 =x(x-1)^3(x+2).$$

f)

$$x^2(x^2+2x-6)-8(x-1) =(x-2)(x+2)(x^2+2x-2).$$

Ostatni trójmian ma pierwiastki $-1-\sqrt3$ i $-1+\sqrt3$.

O kształcie szkicu decydują miejsca zerowe, ich krotności oraz znak współczynnika wiodącego:

• a) zera $-2,3,5$ są jednokrotne; wykres biegnie od dołu po lewej do góry po prawej i przecina oś w każdym zerze;
• b) zera $-4,-3,2$ są jednokrotne; współczynnik wiodący jest ujemny, więc lewy koniec wykresu jest u góry, a prawy na dole;
• c) zera $-1,0,1$ są jednokrotne, a $4$ jest dwukrotne; wykres przecina oś w pierwszych trzech punktach i dotyka jej w $4$;
• d) zera $-1,1,\frac32$ są jednokrotne, a $0$ jest dwukrotne; współczynnik wiodący wynosi $-4$;
• e) zera $-2,-1,2,3$ są jednokrotne; oba końce wykresu są skierowane w dół;
• f) zera $-\frac32,-\frac14,\frac14,\frac32$ są jednokrotne, a $-1$ jest dwukrotne; oba końce wykresu są skierowane w górę.

Z wykresów odczytujemy miejsca zerowe. Ponieważ podano stopień i współczynnik wiodący, otrzymujemy:

a)

$$\begin{aligned} u(x)&=-x(x+3)(x-1)(x-2),\\ v(x)&=-(x^2-9)(x+2)(x+1),\\ w(x)&=-(x^2-1)(x^2-4). \end{aligned}$$

b)

$$\begin{aligned} u(x)&=x(x^2-4)(x^2-1),\\ v(x)&=(x^2-9)(x^2-1)(x+2),\\ w(x)&=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5). \end{aligned}$$

Wyznaczamy zera i układamy znaki czynników na kolejnych przedziałach:

• a) zera: $-1,2,6$; iloczyn jest dodatni na $(-1,2)$ i $(6,\infty)$;
• b) zera: $-\frac12,0,1,3$; iloczyn jest ujemny na $\left(-\frac12,0\right)$ i $(1,3)$;
• c) zera: $-2,-\frac32,\frac32,2$; iloczyn jest ujemny na $(-\infty,-2)$, $\left(-\frac32,\frac32\right)$ i $(2,\infty)$;
• d) zera: $-1,1,2$, przy czym $1$ jest zerem dwukrotnym. Iloczyn jest dodatni na $(-\infty,-1)$ i $(2,\infty)$ oraz równy zero we wszystkich trzech zerach.

Uwzględniamy ostrość każdej nierówności.

a) Po wydłużeniu krawędzie mają długości $x+3$, $x+5$ i $x+7$, więc

$$w(x)=(x+3)(x+5)(x+7)=x^3+15x^2+71x+105.$$

b) Objętość pierwszego prostopadłościanu wynosi $3\cdot5\cdot7=105.$ Szukamy zatem $x>0$, dla którego

$$(x+3)(x+5)(x+7)=315.$$

Po rozwinięciu i rozłożeniu na czynniki:

$$x^3+15x^2+71x-210=(x-2)(x^2+17x+105)=0.$$

Trójmian $x^2+17x+105$ nie ma pierwiastków rzeczywistych, ponieważ $\Delta=17^2-4\cdot105=-131$. Jedynym dopuszczalnym rozwiązaniem jest $x=2$.