MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 91

Rozkładamy każdy wielomian przez grupowanie:

$$\begin{aligned} u(x)&=x^2(x-2)+(x-2)=(x^2+1)(x-2),\\ v(x)&=(x-2)(x-3),\\ w(x)&=x^2(x-3)+(x-3)=(x^2+1)(x-3). \end{aligned}$$

Możemy więc przyjąć

$$A(x)=x^2+1,\qquad B(x)=x-2,\qquad C(x)=x-3.$$

Traktujemy $x^3$ jako jedną zmienną i w każdym przypadku wyłączamy czynnik $x^3+1$:

a) $x^6-1=(x^3+1)(x^3-1).$

b) $x^6+2x^3+1=(x^3+1)^2.$

c) $x^9+1=(x^3+1)(x^6-x^3+1).$

d) $x^9+3x^6+3x^3+1=(x^3+1)(x^6+2x^3+1).$

e) Z ilorazu różnicy czwartych potęg otrzymujemy $x^{12}-1=(x^3+1)(x^9-x^6+x^3-1).$

f) Analogicznie $x^{18}-1=(x^3+1)(x^{15}-x^{12}+x^9-x^6+x^3-1).$

Grupujemy wyrazy tak, aby pojawił się wspólny czynnik:

a) $w=(x-1)(x^2-1)=(x-1)^2(x+1).$

b) $w=(x+1)(x^4-1)=(x-1)(x+1)^2(x^2+1).$

c) $w=(2x-5)(x^2-1)=(2x-5)(x-1)(x+1).$

d) $w=(4x-3)(x^2+1).$

e) $w=(2x-3)(3x^2+2).$

f) $w=(3x-1)(9x^2-1)=(3x-1)^2(3x+1).$

g)

$$w=(4x^2-9)(x^4-4)=(2x-3)(2x+3)(x^2-2)(x^2+2).$$

h)

$$\begin{aligned} w&=(2x-5)(2\sqrt2x^3+1)\\ &=(2x-5)(\sqrt2x+1)(2x^2-\sqrt2x+1). \end{aligned}$$

Stosujemy wzory skróconego mnożenia i grupowanie:

a) $w=(x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1).$

b) $w=(x^2+8)^2-(4x)^2=(x^2-4x+8)(x^2+4x+8).$

c) $w=(x^2+3)^2-(\sqrt2x)^2=(x^2-\sqrt2x+3)(x^2+\sqrt2x+3).$

d) $w=(1-x)(x^4+4)=(1-x)(x^2-2x+2)(x^2+2x+2).$

e) $w=(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1).$

f) Ponieważ $x^8+x^4+1=(x^4-x^2+1)(x^4+x^2+1)$, $w=(x^2-\sqrt3x+1)(x^2+\sqrt3x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1).$

g) $w=(x-2)(x^6+1)=(x-2)(x^2+1)(x^2-\sqrt3x+1)(x^2+\sqrt3x+1).$

h) $w=(x^3+8)(x^4-1)=(x+2)(x^2-2x+4)(x^2+1)(x-1)(x+1).$

i) $w=x^6(8x^3-1)=x^6(2x-1)(4x^2+2x+1).$

j) $w=(x^4-4)^2=(x-\sqrt2)^2(x+\sqrt2)^2(x^2+2)^2.$

Najpierw

$w(x)=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3).$

Zatem

$u_1(x)=[w(x)]^2=x^2(x-3)^2(x+3)^2.$

Dla drugiego wielomianu grupujemy wyrazy:

$$\begin{aligned} u_2(x)&=x^3-x^2-9x+9\\ &=x^2(x-1)-9(x-1)\\ &=(x-1)(x-3)(x+3). \end{aligned}$$

Wielomian ma rozkład

$$w(x)=x^4-(p+1)x^2+p=(x^2-1)(x^2-p).$$

Pierwszy czynnik zawsze rozkłada się na $(x-1)(x+1)$. Drugi daje czynniki liniowe nad $\mathbb R$ dokładnie wtedy, gdy $p\geqslant0$:

$$x^2-p=(x-\sqrt p)(x+\sqrt p).$$

Dla $p=0$ otrzymujemy dwa czynniki $x$, więc ta wartość również spełnia warunek.

W każdym podpunkcie znajdujemy pierwiastek całkowity, dzielimy przez odpowiadający mu dwumian i rozkładamy otrzymany czynnik:

a) $w(1)=0$, a $w=(x-1)(x^2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3).$

b) $w(1)=0$, a $w=(x-1)(x^2+5x+6)=(x-1)(x+2)(x+3).$

c) $w(-2)=0$, a $w=(x+2)(x^2-x-6)=(x+2)^2(x-3).$

d) $w(1)=0$ i ponownie otrzymujemy czynnik $x-1$: $w=(x-1)^2(x^2+x+5).$

e) Kolejne pierwiastki $1,-2,-1$ dają $w=(x-1)(x+2)(x+1)^2.$

f) Kolejne dzielenia przez $x-1$ i $x+3$ prowadzą do $w=(x-1)^3(x+3)^2.$