MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 92

a) Wyłączamy $x$ i rozpoznajemy kwadrat dwumianu:

$$x^5-6x^3+9x=x(x^4-6x^2+9)=x(x^2-3)^2.$$

Stąd $x=0$ albo $x^2=3$.

b) Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:

$$\begin{aligned} x^6-6x^4-7x^2 &=x^2(x^4-6x^2-7)\\ &=x^2(x^2-7)(x^2+1). \end{aligned}$$

Dla liczb rzeczywistych czynnik $x^2+1$ nie daje rozwiązań. Pozostaje $x=0$ albo $x^2=7$.

Rozkładamy lewe strony na czynniki i odrzucamy czynniki kwadratowe bez pierwiastków rzeczywistych:

a)

$$x^3+2021x+2022=(x+1)(x^2-x+2022).$$

Drugi czynnik ma wyróżnik $1-8088<0$, więc $x=-1$.

b) $6x^3+x^2-4x+1=(x+1)(3x-1)(2x-1).$

c) $x^3+2x^2-11x-12=(x+4)(x+1)(x-3).$

d) $12x^3-4x^2-3x+1=(2x+1)(3x-1)(2x-1).$

e) $4x^4+x^2+3x+1=(2x+1)^2(x^2-x+1).$ Wyróżnik ostatniego czynnika jest ujemny.

f) $x^4-7x^3+17x^2-17x+6=(x-1)^2(x-2)(x-3).$

g) $x^4+x^3-10x^2-4x+24=(x+3)(x+2)(x-2)^2.$

h) $16x^4+24x^3+x^2-6x+1=(x+1)^2(4x-1)^2.$

Ponieważ $a$ jest pierwiastkiem, musi zachodzić $w(a)=0$. Po podstawieniu:

$$\begin{aligned} 0&=a^3-2(a-2)a^2+(1-a)a+3a-12\\ &=-a^3+3a^2+4a-12\\ &=-(a-3)(a-2)(a+2). \end{aligned}$$

Iloczyn jest równy zeru dokładnie dla trzech wartości parametru.

Punkty wspólne spełniają równanie $u(x)=w(x)$.

a) $u(x)-w(x)=x^4-4x^2+4=(x^2-2)^2,$ więc $x=\pm\sqrt2$. Dla obu argumentów $y=w(x)=-4$.

b) $u(x)-w(x)=-3(x-3)(x-1)(x+1).$ Po podstawieniu $x=-1,1,3$ do jednego z wielomianów otrzymujemy odpowiednio $y=-8,0,0$.

c)

$$u(x)-w(x)=(x^2-5)(x^3+1)=(x^2-5)(x+1)(x^2-x+1).$$

Ostatni czynnik nie ma pierwiastków rzeczywistych. Dla $x=-\sqrt5,-1,\sqrt5$ otrzymujemy odpowiednio $y=\sqrt5-5,0,-\sqrt5-5$.

Zapiszmy wielomian jako

$w(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n.$

Po podstawieniu $x=-1$ składniki przy potęgach parzystych zachowują znak, a składniki przy potęgach nieparzystych zmieniają znak. Zatem

$$w(-1)=\sum_{k\text{ parzyste}}a_k-\sum_{k\text{ nieparzyste}}a_k.$$

Obie sumy są z założenia równe, więc $w(-1)=0$. Na mocy twierdzenia Bézouta liczba $-1$ jest pierwiastkiem wielomianu.

W każdym przypadku sprawdzamy wynik przez zapis dzielnej jako iloczynu dzielnika i ilorazu:

a) $2x^3-4x^2+x-2=(x-2)(2x^2+1).$

b) $x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1).$

c) $6x^4-x^3+6x^2+6x+1=(2x+1)(3x^3-2x^2+4x+1).$

d) $x^3-x^2+2=(x^2-2x+2)(x+1).$

e) $3x^4-7x^3-x^2+6x+2=(-3x^2+4x+2)(-x^2+x+1).$

f) $x^8-1=(x^2+1)(x^6-x^4+x^2-1).$

g) Cała dzielna ma postać $2x^4-7x^3+2x^2-21x-12=(x-4)(x^2+3)(2x+1),$ więc po obu dzieleniach pozostaje $2x+1$.

h) $x^5+3x^4-3x^3-15x^2-10x=(x+2)(x^2-5)(x^2+x),$ więc końcowy iloraz to $x^2+x$.

i) $x^6+6x^4+11x^2+6=(x^2+2)(x^2+3)(x^2+1),$ więc końcowy iloraz to $x^2+1$.