MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 90

W iloczynie $w(-5)$ występuje czynnik $-5+5=0$, więc $w(-5)=0$. Analogicznie w $w(-8)$ występuje czynnik $-8+8=0$, zatem $w(-8)=0$. Obie strony badanej równości są równe zeru.

Przenosimy sześciany na prawą stronę i rozwijamy wzory skróconego mnożenia. Otrzymujemy kolejno

Korzystamy ze wzoru $\frac{x^n-a^n}{x-a}=x^{n-1}+ax^{n-2}+\ldots+a^{n-1}.$ Dla a) bierzemy $a=2,n=8$, a dla b) $a=\frac12,n=6$, ponieważ $\frac{2x-1}{2}=x-\frac12$.

Rozwijamy licznik: $(x+4)^3-(x+2)^3=6x^2+36x+56.$ Po odjęciu $6x(6+x)=6x^2+36x$ pozostaje $56$. Wyrażenie pod pierwiastkiem jest zatem stale równe $56/7=8$, a jego pierwiastek sześcienny wynosi $2$.

a) Gdy $a+b=1$, to $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=1-3ab.$ Stąd $a^3-ab+b^3=1-4ab=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$.

b) Gdy $a-b=1$, to $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^2+ab+b^2.$ Po dodaniu $ab$ dostajemy $(a+b)^2$.

Oznaczmy $t=\sqrt[3]{x}$, zatem $t^2=\sqrt[3]{x^2}$.

a) $(t-1)(t^2+t+1)=t^3-1=x-1=10$, więc $x=11$.

b) $(t^2-t+1)(t+1)=t^3+1=x+1=5$, więc $x=4$.

Wyłączamy największy wspólny czynnik, stosujemy wzory skróconego mnożenia i rozkładamy trójmiany o rzeczywistych pierwiastkach. Otrzymujemy:

$w(x)=x(x+2)^2,\qquad u(x)=x^2(x-3)^2.$ Wszystkie różne czynniki to $x$, $x+2$, $x-3$. Wielomian najniższego stopnia zawierający każdy z nich jednokrotnie ma więc postać $v(x)=x(x+2)(x-3)=x^3-x^2-6x.$

Rozkładamy obie wartości: $w(n)=n(n+5)(n+11),$ $v(n)=n^2(n+4)(n+11).$ Dla $n\ge1$ wspólnym dzielnikiem jest $n(n+11)\ge12>10$. Jeżeli przyjmujemy $0\in\mathbb N$, to dla $n=0$ obie wartości są zerami, więc ich wspólnym dzielnikiem jest na przykład $11$.