MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 89

Dla rozpatrywanego argumentu $k(x)=abx^{10}=(ax^3)(bx^7)=\sqrt3\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6.$

Mamy $w(x)=\sum_{n=0}^{5}2^nx^n=\sum_{n=0}^{5}(2x)^n$. Zatem $w\left(\frac12\right)=6,$ $w\left(\frac14\right)=1+\frac12+\cdots+\frac1{32}=\frac{63}{32},$ $w(2)=1+4+4^2+\cdots+4^5=\frac{4^6-1}{3}=1365.$

Podstawiamy podane argumenty.

a) Z $w(0)=-b=-1$ mamy $b=1$, a $w(-1)=a=0$.

b) $w(0)=b=1$, a $w(1)=9-a=2$, więc $a=7$.

c) $c=4$, zaś pozostałe warunki dają układ $2a+b=1$, $5a+b=4$, stąd $a=1$, $b=-1$.

d) $c=4$, a równania $a+b=3$, $-a+b=-7$ dają $a=5$, $b=-2$.

Niech $w(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Z równości $w(x)+w(-x)=2bx^2+2d$ dla $x=1,2$ otrzymujemy $b=d=0$. Pozostałe warunki to $a+c=-8$ i $8a+2c=-10$, czyli $a=1$, $c=-9$. Zatem $w(x)=x^3-9x$.

Po podzieleniu pierwszego licznika przez $5$, a drugiego przez $3$ mamy $\frac{(6x^3y-3xy^2-3x^2y^2)-(10x^3y-5xy^2+15x^2y^2)}2.$ Redukcja wyrazów podobnych daje wynik.

Dodając równania stronami, otrzymujemy $2u(x)=8x^2+8x+8,$ a odejmując drugie od pierwszego: $2v(x)=-4x^2+4.$

Z równania wynika $t=3w-u-v$. Najpierw $u+v=2x^2y+4x^2y^2,$ natomiast $3w=-9x^2y^2-18x^2y$. Po odjęciu otrzymujemy $t(x,y)=-13x^2y^2-20x^2y.$

W a) wyłączamy wspólny czynnik $g$: $w=g(f+h)$, a następnie rozwijamy. W pozostałych podpunktach bezpośrednio podnosimy do kwadratu i redukujemy wyrazy podobne. Dostajemy: