MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 88

Wysokość ma długość $x-2$, więc $V(x)=x^2(x-2)=x^3-2x^2,\qquad x>2.$ Nierówność $V(x)>32$ ma postać $x^3-2x^2-32=(x-4)(x^2+2x+8)>0.$ Trójmian jest zawsze dodatni, a po uwzględnieniu dziedziny zostaje $x>4$.

Niech $h=2x-1$. Z objętości pudełka $x^2(2x-1)=162$ otrzymujemy $(2x-9)(x^2+4x+18)=0.$ Drugi czynnik jest dodatni, więc $x=\frac92$ i $h=8$. Środek koła pokrywa się ze środkiem podstawy siatki. Promień prowadzący do skrajnego narożnika ma przyprostokątne $\frac x2$ oraz $\frac x2+h$, zatem $r^2=\left(\frac94\right)^2+\left(\frac{41}{4}\right)^2=\frac{881}{8}.$ Pole koła wynosi $\frac{881}{8}\pi\approx346\ \mathrm{cm}^2$.

Z kwadratu $10\times10$ po wycięciu narożników o boku $x+1$ powstaje pudełko o wysokości $x+1$ i boku podstawy $8-2x$. Z prostokąta $10\times8$ powstaje pudełko o wysokości $x$ i podstawie $(10-2x)\times(8-2x)$. Stąd $V_1(x)=4(4-x)^2(x+1),\qquad V_2(x)=4x(4-x)(5-x),$ a wspólną dziedziną fizyczną jest $(0,4)$. W tej dziedzinie $V_2-V_1=8(4-x)(x-2),$ więc $V_1<V_2$ dokładnie dla $2<x<4$.