MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 87

Pole powierzchni prostopadłościanu o krawędziach $a,b,c$ jest równe $2(ab+ac+bc)$. Po podstawieniu danych otrzymujemy

Niech kolejne długości będą równe $n,n+1,n+2,n+3$. Warunek na objętości to $(n+3)^3=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3,$ czyli $n^3-6n-9=(n-3)(n^2+3n+3)=0.$ Jedynym naturalnym rozwiązaniem jest $n=3$, więc krawędzie mają długości $3,4,5,6$. Pola powierzchni są proporcjonalne do kwadratów krawędzi, lecz $6^2=36\ne3^2+4^2+5^2=50.$

Początkowa objętość wynosi $72\ \mathrm{cm}^3$, a nowa $30\ \mathrm{cm}^3$. Jeśli każdy wymiar zmniejszono o $x$, to $0<x<3$ oraz $(6-x)(4-x)(3-x)=30.$ Po rozwinięciu: $x^3-13x^2+54x-42=(x-1)(x^2-12x+42)=0.$ Drugi czynnik nie ma pierwiastków rzeczywistych, zatem $x=1$.

Punkty paraboli leżące na tej samej wysokości są symetryczne względem prostej $x=2$. Jeżeli prawy bok ma odciętą $t>2$, lewy ma odciętą $4-t$. Szerokość prostokąta wynosi $2t-4$, a wysokość $(t-2)^2$. Stąd $P(t)=(2t-4)(t-2)^2=2(t-2)^3,\qquad t\in(2,\infty).$ Warunek $P(t)=54$ daje $(t-2)^3=27$, więc $t=5$.

Niech górne wierzchołki mają odcięte $1-d$ i $1+d$, gdzie $d>0$. Szerokość wynosi $2d$, a wysokość $d^2+2$. Z równania pola $2d(d^2+2)=24$ dostajemy $d^3+2d-12=(d-2)(d^2+2d+6)=0$, zatem $d=2$. Wysokość prostokąta jest równa $6$.

Górne wierzchołki mają odcięte $-x,x$, gdzie $x$ jest dodatnią liczbą całkowitą mniejszą od $4$. Szerokość to $2x$, wysokość $16-x^2$, więc $2x(16-x^2)=42\iff x^3-16x+21=0.$ Spośród $x=1,2,3$ równanie spełnia tylko $x=3$. Boki prostokąta mają zatem długości $6$ i $7$, a przekątna $\sqrt{6^2+7^2}=\sqrt{85}$.

$54$ l to $54000\ \mathrm{cm}^3$. Objętość wody spełnia $4x\cdot3x\cdot(2x-10)=54000,$ czyli $x^2(x-5)=2250$. Dla $x>5$ lewa strona rośnie i równanie ma rozwiązanie $x=15$. Pełna wysokość akwarium to $2x$. Suma pól czterech ścian bocznych: $2(4x\cdot2x)+2(3x\cdot2x)=28x^2=6300\ \mathrm{cm}^2.$