MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 86

Z twierdzenia o reszcie reszta wynosi $w(a)$. Warunek $w(a)>1$ po uporządkowaniu ma postać $a^5-a^4-3a^3+3a^2+2a-2>0.$ Rozkładamy lewą stronę: $a^5-a^4-3a^3+3a^2+2a-2=(a-1)^2(a+1)(a^2-2).$ Tabela znaków dla $-\sqrt2,-1,1,\sqrt2$ daje wynik; podwójne zero $1$ nie zmienia znaku.

W podpunkcie a) porównujemy położenie obu wykresów. W b) wybieramy przedziały, na których wykresy leżą po przeciwnych stronach osi $OX$, a w c) — po tej samej stronie lub na osi. Odczyt z zaznaczonymi punktami $-4,-2,0,1,2$ daje podane zbiory.

Niech $p(x)=(x+3)(x+2)(x-1)$. Warunek $p(x)\le0$ daje $(-\infty,-3]\cup[-2,1]$. Z kolei $p(x)+6=x(x^2+4x+1)=x(x+2-\sqrt3)(x+2+\sqrt3),$ więc $p(x)\ge-6$ dla $[-2-\sqrt3,-2+\sqrt3]\cup[0,\infty)$. Przecinamy oba zbiory.

Każdy wielomian zapisujemy jako sumę albo iloczyn wyrażeń o kontrolowanym znaku:

Oznaczmy $y=w(x)=2x^2-1$. Wtedy $w^2(x)=y^2$, natomiast $w(w(x))=2y^2-1$. Nierówność jest więc równoważna $y^2<1\iff -1<2x^2-1<1\iff 0<x^2<1.$

a) Z tożsamości podanej w ramce $w(x)=(x^2-5x+5)^2\ge0.$

b) Grupujemy czynniki symetrycznie:

Kwadrat czynnika nie zmienia znaku, lecz zawsze wnosi własne miejsce zerowe.

a) Poza $x=a$ znak jest znakiem $x-2$. Dla $a<2$ dostajemy izolowane zero $a$ oraz $[2,\infty)$; dla $a\ge2$ zero należy już do tego przedziału.

b) Poza $x=-3$ potrzebujemy $x>a$. Gdy $a<-3$, punkt $-3$ trzeba usunąć z przedziału $(a,\infty)$; gdy $a\ge-3$, leży on poza tym przedziałem albo jest jego końcem.

Rozkładamy wielomian przez grupowanie: $x^4-px^3-x+p=(x-p)(x^3-1)=(x-p)(x-1)(x^2+x+1).$ Ostatni czynnik jest zawsze dodatni. Zbiorem rozwiązań nierówności jest więc domknięty przedział o końcach $p$ i $1$. Jest jednoelementowy dokładnie wtedy, gdy oba końce są równe.

Końce przedziałów rozwiązania są zerami iloczynu: $-1,2,3,4$. Pierwszy trójmian ma iloczyn pierwiastków równy $-4$, więc jego pierwiastkami muszą być $-1$ i $4$. Ich suma jest równa $m$, zatem $m=3$. Drugi trójmian ma wtedy postać $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, więc dostarcza pozostałych zer. Znaki iloczynu dokładnie odtwarzają podany zbiór.