MATeMAtyka 2. Zbiór zadań, strona 85 — rozwiązania zadań

Zadanie 9

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkłady na czynniki rzeczywiste są następujące:

\text{a)}&\ (x+3)(x+1)(x-2),\\ \text{b)}&\ (x-2)^2(x-3),\\ \text{c)}&\ (x+1)(x-2)(x^2+1),\\ \text{d)}&\ -(2x-1)^2(x^2+x+1). \end{aligned}$$ Trójmiany $x^2+1$ i $x^2+x+1$ są dodatnie, więc znaki wynikają z czynników liniowych.

Odpowiedź

a) pierwiastki $-3,-1,2$ , rozwiązanie $(-\infty,-3]\cup[-1,2]$ ; b) pierwiastki $2$ (dwukrotny), $3$ , rozwiązanie $(-\infty,3]$ ; c) pierwiastki $-1,2$ , rozwiązanie $[-1,2]$ ; d) pierwiastek $\frac12$ (dwukrotny), rozwiązanie $\mathbb R$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z wykresu odczytujemy miejsca zerowe $-2,0,1$ , przy czym $1$ jest zerem dwukrotnym, oraz znak $f$ na kolejnych przedziałach. Ponieważ $x^3+x=x(x^2+1)$ ma znak taki jak $x$ , tabela znaków iloczynu pokazuje, że jest on dodatni wyłącznie przed $-2$ .

Odpowiedź

$x\in(-\infty,-2)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy wszystkie czynniki do czynników liniowych; nierozkładalne trójmiany mają stały znak. Otrzymujemy kolejno znaki iloczynów $(x-2)^2(x-1)(x+1)$ , $(x-1)^2(x+4)$ , $(x-2)^2(x+2)(x^2+2x+4)$ , $x(x-4)(x+4)(x-2)(x+2)$ , $-x^2(x^2-81)(x^2-9)$ oraz $x^2(x-1)^3(x^2+x+1)$ .

Odpowiedź

a) $(-1,1)$ ; b) $(-4,1)\cup(1,\infty)$ ; c) $(-\infty,-2]\cup\{2\}$ ; d) $(-\infty,-4]\cup[-2,0]\cup[2,4]$ ; e) $(-\infty,-9)\cup(-3,0)\cup(0,3)\cup(9,\infty)$ ; f) $\{0\}\cup[1,\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 12

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę otrzymujemy:

\text{a)}&\ (x-1)(x^2+4x+2)<0,\\ \text{b)}&\ (x^2-3)(x-1)(x-2)\le0,\\ \text{c)}&\ (2x-1)^2(x-1)(x+1)\ge0,\\ \text{d)}&\ x(x-1)^2(x+1)^2>0,\\ \text{e)}&\ -x^2(x^2-4)(x^2+1)\le0,\\ \text{f)}&\ (x^4-1)(x^4-16)<0. \end{aligned}$$ Tabela znaków z zachowaniem końców przy nierównościach słabych daje wyniki.

Odpowiedź

a) $(-\infty,-2-\sqrt2)\cup(-2+\sqrt2,1)$ ; b) $[-\sqrt3,1]\cup[\sqrt3,2]$ ; c) $(-\infty,-1]\cup\{\frac12\}\cup[1,\infty)$ ; d) $(0,1)\cup(1,\infty)$ ; e) $(-\infty,-2]\cup\{0\}\cup[2,\infty)$ ; f) $(-2,-1)\cup(1,2)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 13

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z pierwiastków i współczynnika wiodącego $w(x)=2(x+1)(x-2)(x-3)=2x^3-8x^2+2x+12,$ więc $a=-8$ , $b=2$ , $c=12$ . Dalej $w(x)-(x+1)=(x+1)(2x^2-10x+11).$ Pierwiastki trójmianu to $\frac{5\pm\sqrt3}{2}$ ; tabela znaków daje rozwiązanie nierówności nieostrej.

Odpowiedź

$a=-8$ , $b=2$ , $c=12$ ; $x\in[-1,\frac{5-\sqrt3}{2}]\cup[\frac{5+\sqrt3}{2},\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 14

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla $n\ge1$ skracamy dodatni czynnik $n(n+1)$ w nierówności $\frac{n(n+1)}2<\frac1{10}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}6.$ Otrzymujemy $30<2n+1$ , czyli $n>\frac{29}{2}$ . Najmniejszą naturalną liczbą spełniającą ten warunek jest $15$ .

Odpowiedź

$n=15$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 15

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z wykresu $f$ odczytujemy zera $-3$ oraz $\frac12$ (drugie jest podwójne). Punkt wspólny $A=(1,-1)$ daje współczynnik $-\frac14$ , zatem $f(x)=-\frac14(x+3)(2x-1)^2.$ Stąd $f(x)\ge0$ dla $x\le-3$ oraz dla $x=\frac12$ . Ponadto $g(x)-f(x)=\frac14(x+3)(4x+1)(x-1),$ więc tabela znaków trzech prostych zer daje drugi zbiór.

Odpowiedź

$f(x)=-\frac14(x+3)(2x-1)^2$ ; a) $(-\infty,-3]\cup\{\frac12\}$ ; b) $[-3,-\frac14]\cup[1,\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem